漫谈线性组合

柏舟   新冠3年 11-18

漫谈线性组合

若存在不全为0的ki，则alpha之间线性相关，否则线性无关。

线性组合、线性无关是线性代数里面最基础的概念。但是，线性组合不仅只是一个数学概念，更是一个认识论。

级数

很多数学概念都与线性代数有关。比如：Taylor级数，傅立叶级数。

这就意味着，适用于欧式空间的性质可以扩展到傅立叶空间，或者说频域。也许内积的计算方式不同，但是只要满足内积空间的定义，那么内积空间的性质就能共用。

微分方程和数列

数列的递推公式有特征根，线性微分方程也有特征根，本质上他们都可以化成一阶线性微分方程组，通过求矩阵的特征根获得。而自动控制原理，无非是对微分方程的分析，传统的方法是从时域和频域分析，现代的方法是分析一阶线性微分方程组；还有计算机控制原理，本质上微分离散化，以及相关的分析方法。可以很容易的写出向前差分，向后差分的矩阵算子，无非是前项减后项除以时间，之后进行矩阵运算。线性微分方程离散化的结果就是一个数列的公式，其中的系数与采样时间有关，这也是数列有特征根的原因。

数学推理本身

线性组合的思考方式当然不仅仅局限在发现这些概念的共通之处，而是在于它们共通这件事本身。就如同欧式几何的五大公理，可以导出很多性质，导出的过程本身就是将公理作为基，性质就是基的线性表出。同样的，解题过程就是将题目的条件和公理作为基，解题的答案就是它们的线性表出。

力学

力学分析的思路无非是运动学和牛顿力学，或是能量和动量。它们之间各是一组线性无关的基，可以相互转换。而实际对物理建模，无非是引入运动学和牛顿力学作为基，或能量和动量作为基，然后引入对应的自由度，导出结果。那么，如何对模型进行更加精确的建模呢？无非是导入更多自由度，或者说新的基。比如：引入转动或动量矩，引入材料的形变或者应变能。 在物理世界中，引入的基越多，那么就能够对模型进行更加精确的建模，但是基之间一定得是线性无关的。

软件

代码逻辑本质上是if-else和数学计算的线性组合，但是，显然不仅于此。因为，任何的软件都是有副作用的，或者说，有输出的，否则软件使用者就无法获得任何结果。所以，编程语言不仅有if-else基和数学计算基，还可以导入其他模块作为基，比如：文件系统基，网络基。当然了，当年的plan9将网络接口、进程等等都视作文件，无非是使用文件的基础操作作为基，对对应领域的对象进行“线性”表出罢了。

从软件设计角度出发，可以通过线性组合得出一组设计原则。首先，将对用户提供的接口视为一组基，那么接口之间一定要保证无关。这是因为从基中取出任意一组子基，它们一定线性无关。用户将要实现的功能一定是用到一组接口的子基，而如果接口之间线性相关，那么用户可以使用的接口子基数量不唯一，这将给用户或者开发人员带来不必要的困惑，导致后期很难维护。所以，面向对象编程中，结构体一定不要存中间变量，结构体元素之间一定保证线性无关，如果一定需要保存中间结果，那么应该新建一个结构体将中间变量和线性相关的变量封装起来，保证对外的方法线性无关。

其次，不一定要暴露所有的基。领域驱动建模中，最终需要提供给开发人员或者客户一个简明的能够满足需求的模型。这就要求，我们需要对基进行裁剪，选择其中最核心的部分（对应矩阵运算就是SVD），进行线性组合，最后使接口之间正交。

所以，从线性相关的角度对系统架构设计，其实与单一职责原则，开闭原则等说的是一回事。

认识论

上面的都是从基的角度分析的，线性代数还有空间的概念，我对空间的理解是，空间中有一组基，和一组运算，使用基和运算可以表出一个值域，这个值域就是空间。

可以注意到，现实生活中，任意一点的信息是无限的，从微观到宏观，从过去到未来。不仅如此，世界上并不存在什么数字1，力，运动什么的。所有的一切的一切，都是人臆想出来的，臆想并不是说物质的存在取决于人的想象，而是说，物质的信息是无穷的，但是物质的性质是由人意识中使用的基表出的。人描述数量，就可以使用数学空间，现实中存在一支笔，但是不存在“1”本身；描述力，就可以使用力学空间，现实中存在钻木取火，但是不存在摩擦力本身。

你可以发现，哲学上有很多类似的说法，比如维特根斯坦的图像，经验哲学等等，这些认识论，本身就是一个空间，只要它本身的维度有限，那么它一定是没有办法描述世界的全貌。所以，至少目前来看，还没有一个理论可以描述一切。你还可以发现，以上表述本身也是一种表述，那么表述本身能够自洽吗？语言本身的基又是什么？人有极限吗？语言限制了人的极限还是人限制了语言的极限？