线性泛函分析中向量空间和LQR、对偶空间的物理含义

柏舟新冠5年 01-05

#数学与控制

线性系统二次型和向量空间

通过向量空间来看待线性系统可以很容易的设计输入u。对于线性系统：

\[ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) \]

等式两边乘以exp(-At)可得

\[ \frac{d}{dt}[\exp(-At)x(t)]=\exp(-At)Bu(t) \]

对于一个边值问题，需要在有限时间t0内，从x(0)点转移到x(t0)点，就有：

\[ \exp(-A\tau)x(\tau)|_{0}^{t_0}=\int_{0}^{t_0}\exp(-A\tau)Bu(\tau)d\tau \]

事实上，这个方程可以推出线性系统的通解。

注意到等式右边是一个内积的形式，内积定义如下：

\[ <x,y>=\int_0^{t_0}x^T(\tau)y(\tau)d\tau \]

所以，只要u(t)满足以下约束就能使系统到达指定地点：

\[ <\exp(-At)^T,Bu(t)>=\exp(-A\tau)x(\tau)|_{0}^{t_0} \]

将基解矩阵exp(-At)写成行向量的形式：

\[ \exp(-At)=[\phi_1(t),\dots, \phi_n(t)]^T \]

$\phi_i(t)$可以张成一个子空间。Bu(t)可以写成：

\[ Bu(t)=u'(t)=u'_{\perp}(t)+u'_{\parallel}(t) \]

平行部分需要满足约束条件：

\[ <\phi_i(t),u'_{\parallel}(t)>=\exp(-A\tau)x(\tau)_{row_i}|_{0}^{t_0} \]

有没有感觉这个形式很熟悉，把平行部分写成$\phi$的分量形式，可以很容易的用最佳二次逼近类似的方法求出分量的系数（区别是等式右边由系统和终止条件决定）。而垂直部分可以任意指定。

从上述视角再看看线性系统的能控性，约束条件左边和右边都是在$span\phi_i(t)$空间中，线性系统能控需要任意空间中的向量都能由$u'_{\parallel}(t)$表出，但是这又与B的性质有关。想要证能控性的条件，但是发现接下来不会了。

再看LQR的损失函数，要求

\[ J=\frac{1}{2}\int_0^{t_0}[e(t)^TQe(t)+u(t)^TRu(t)]dt+\frac{1}{2}e(t_0)^TQe(t_0) \]

第三项是t0时刻误差向量，由于上述的过程是一定保证能够到达目标位置，所以这一项等于0。第一项衡量了过程中的误差大小，计算需要二重积分，太难了不想处理。对于第二项，当垂直项取零时是个定值：

\[ L_2=\frac{1}{2}\int_0^{t_0}[u'(t)_{\parallel}^T(B^{-T}RB^{-1})u'(t)_{\parallel}]dt \]

所以上述的控制方法其实是LQR的一种特殊形式，因为它不考虑过程误差（其实考虑垂直项是可以分析第一项的）。计算思路很简单，求出exp(-At)通解，然后用最佳二次逼近求一下系数就完了。

但是有一些小问题，就是无法推广到无限情况，因为exp(-At)并不是一个有界函数。

泛函和张量

张量是自学的，说得不一定对。对于空间X中的一个向量（比如位置），如果没有定义坐标系，是没有办法得到坐标的。所以在定义了一个基底的基础上，可以将X映射到一组坐标上，即(a1,a2,a3,...)

\[ T:X\to R^n, x=\sum_{i=1}^n a_ie_i \mapsto (a_1,a_2,\cdots, a_n)^T \]

不知道协变是T还是这组基。假如将的长度扩大一倍，相应的，x与e的内积也扩大一倍。

而X的对偶空间X*，是个有界线性泛函空间，它表征了这组基对应的单位。比如欧式空间中，定义基为：

\[ e_1=[0.5,0,0],e_2=[0,0.5,0],e_3=[0,0,0.5] \]

注：基可以是不正交的。

定义泛函f获得轴x分量上的长度：

\[ f(e_1)=0.5m,f(e_2)=0m,f(e_3)=0m \]

当然也可以定义任意方向的长度度量，扩展到其它坐标系。

以下面空间中的一个向量举例，就可以得到

\[ x=3e_1+2e_2+1e_3,f(x)=f(3e_1+2e_2+1e_3)=3f(e_1)+2f(e_2)+1f(e_3)=1.5m \]

所以，物理中有三个对象，第一个是选取的基底，不同基底对应不同的物理量；第二个是在基底下测量的大小，比如说拿一个电阻式的温度计测温度，那么实际测量出来的是电压，这个电压的值的大小肯定不是实际温度的大小，需要有一个函数转换成真实的大小；第三个是将基底下的大小转换成某个单位下的大小的映射，比如将测量值转换成米、英寸，不同单位对应不同的映射。

flowchart LR; 空间中的温度 --"测量成电压"--> 电压大小 --> 摄氏度 & 开式度;

定义不同的空间有什么用？

暂时不清楚对偶空间在数学上有什么用，据说量子力学在空间中表示需要使用复数，但是在对偶空间下就变成复数，因为在现实中只能测量实数量，不懂。在经典力学上有很多选取基底的做法。第一种，就像广义坐标一样，消去守恒量，可以减少系统的方程个数，参考哈密顿力学。

第二种就是量纲分析，对偶空间并不一定需要实际的物理量，可以通过选取无量纲化的参数，让对偶空间的单位变成1。比如螺旋桨的设计，螺旋桨的参数主要有直径、弦长、桨叶数量、桨距角、转数，但是你通过重新选取基，可以将螺旋桨的力学性能变成一个只与桨距角、实度（桨叶面积占桨盘面积的比例）、雷诺数的函数。这些参数都是没有单位的，并且可以将不同尺度的螺旋桨，不仅是空气的还是水中的放到同一个尺度中比较。这个尺度是：

\[ C_T(Re,\sigma,\alpha)=\frac{T}{\frac{1}{2} \rho (\omega R)^2 \pi R^2} \]

$C_T$就是对偶空间的一个函数，它将螺旋桨外形空间映射到一个实数，这个实数反映了力与转数、半径、空气密度的关系，它的单位是1。

这种不同尺度的比较其实是一个剩余类环，即：

flowchart TD; A["空间A：直径、弦长、桨叶数量、桨距角、转数、流体性质"] --"f"--> B["空间B：桨距角、实度、雷诺数"]

同族的螺旋桨对应一个商群的元素：A/ker(f)。